Departamento de Matematicas

1. Defina [1 c/u] : a) Grupo b) Grupo propio c) ciclo de uná orbita. d) Operación binaria. 2. De una tabla para una operación binaria en el conjunto e, a, b que satisfaga el axioma 2 y el axioma 3 para grupo pero no el axioma 1.[5 c/u] 3. Encuentre el máximo común divisor, luego encuentre p y q talque d = mq + np [2 c/u]: a) m = 32 yn = 24 b) m = 48 y n = 88 c) m = 23 y n = 31 4. Sea G un grupo y supongamos que a * b * c = e para a, b, c ∈ G. Muestre que b * c * a = e. [8 pts] 5. Sea G un grupo y supongamos a ∈ G generan un subgrupo cíclico de orden 2 y es eí unico de estos elementos. Muestre que ax = xa para todo x ∈ G. [ Hint: (xax −1) 2 ].[8 pts] 6. Muestre que todo subconjunto no vació H de grupo G, es un subgrupo de G si y solo si ab −1 ∈ H ∀ a, b ∈ H.[ 8 pts] 7. Sea p y q números primos. Encuentre el números de generadores del grupo cíclico Z pq. [ 8 pts] 8. Demuestre que si todo elemento todo elemento de G es su propio elemento inverso, entonces G es abeliano. [ 8 pts] 9. Muestre que si (a * b) 2 = (a) 2 * (b) 2 para a y b en G, entoncesa * b = b * a. [ 5 pts] Puntaje total: 60 puntos. Puntaje aprobación: 36 puntos.

a) 4Z de Z b) 4Z de 2Z c) < 2 > de Z 1 2 d) < 8 > de Z 36 2. Encuentre el indice de < 3 > en Z 24 3. Sea H un subgrupo de G y g ∈ G. Defina una aplicación uno a uno y sobre entre H y Hg. Demuestre que es uno a uno y sobre. 4. Sea H un subgrupo del grupo G tal que g −1 hg ∈ H ∀h ∈ H y ∀k ∈ K. Muestre que cada cosets izquierdo gH es igual a cada cosets derecho Hg. 5. Sea H un subgrupo del grupo del grupo G. Pruebe que si la partición de G en los cosets izquierdos de H (gH) son iguales a las partición en los costes derechos de H (Hg), entonces g −1 hg ∈ H ∀g ∈ G y ∀g ∈ H. 6. Sea H un subgrupo del grupo G y sea a, b ∈ G. En los siguientes ejercicios pruebe la declaración o de un contra ejemplo. a) Si aH = bH, entonces Ha = Hb. b) Si Ha = Hb, entonces b ∈ Ha. c) Si aH = bH, entonces Ha −1 = Hb −1. d) Si aH = bH, entonces a 2 H = b 2 H. 7. Sea G un grupo de orden pq, donde p y q son primos. Muestre que cada subgrupo propio de G es cíclico. 8. Muestre que un grupo con al menos dos elementos pero que no tiene subgrupos propios no triviales debe ser finito y de orden primo. 9. Muestre que si H es un subgrupo de indice 2 en un grupo finito G, entonces cada cosets derecho de H es también un cosets izquierdo de H. 10. Sea H y K subgrupos del grupo G. Definamos ∼ por a = hbk para algún h ∈ H y algún k ∈ K.Pruebe que ∼ es una relación de equivalencia. 11. Sea S A el grupo de todas las permutaciones del conjunto A y sea c un elemento en particular del conjunto A. a) Muestre que S c,c = {σ ∈ S A /σ(c) = c} es un subgrupo de S A. b) Sea d = c otro elemento particular de A. Es S c,d = {σ ∈ S A /σ(d) = c} un subgrupo de S A ? 12. Muestre que un grupo cíclico de orden n, tiene exactamente un subgrupo de cada orden d que divide a n, y que estos son todos los subgrupos. 13. Muestre que todos los elementos Z 2 × Z 4. Encuentre el orden de cada elemento. El grupo es cíclico? 14. Repita el ejercicio anterior para Z 3 × Z 4 15. En los siguientes ejercicios, encuentre el orden de los elementos indicados. a) (2, 6) en Z 4 × Z 12

1. Sea p primo. Muestre que le anillo Z p , tenemos (a + b) p = a p + b p para todo a, b ∈ Z p 2. Muestre que le inverso mutiplicativo en un anillo unitario con unidad esúnicoes´esúnico. 3. Muestre que un anillo R no tiene elementos nilpotentes no cero si y solo si 0 es lá unica solución de x 2 = 0 en R. 4. Muestre que un subconjunto S del anillo R es un subanillo de R si y solo si las siguientes propiedades se cumplen: 0 ∈ S; (a − b) ∈ S f oralla, b ∈ S; ab ∈ S ∀a, b ∈ S. 5. Muestre que la intersección de subanillos de un anillo R es también un subanillo en R. 6. Sea R un anillo, y sea "aün elemento fijo de R. Sea I a = {x ∈ R/ax = 0}. Muestre que I a es un subanillo de R. 7. Sea r y s enteros positivos tal que mcd(r, s) = 1. Use el isomorfimo del ejemplo 18.15 para mostrar que m, n ∈ Z,existe un entero x tal que x ≡ m(mod r) y x ≡ n(mod s). 8. Consideremos S, +, ≥≥, donde A es un conjunto y + y · operaciones binarias tal que S, + es un grupo. S * , ·· es un grupo donde S * consiste en todos los elementos de S a(b + c) = (ab) + (ac) y (a + b)c = (ac) + (bc) ∀a, b ∈ S. Muestre que S, +, ·· es un anillo con división. [ HINT: aplique la ley de distributiva en (1 + 1)(a + b) para probar la conmutatividad de adición] 9. Un anillo R es anillo Booleano si a 2 = a ∀a ∈ R,es decir, todo elemento es idempotente. Muestre que cada anillo Booleano es conmutativo. 10. Encuentre todas las soluciones de la ecuación x 3 − 2x 2 − 3x = 0 en Z 12. 11. Muestre que la intersección de subdominios de integridad de un anillo de integridad D es también un subdominio de D. 12. Sea R un anillo que contiene al menos dos elementos. Supongamos que cada elemento no vero a ∈ R, existe unúnicoun´unúnico elemento b ∈ R tal que aba = a a) Muestre que R no tiene divisores de 0. b) Muestre que bab = b. c) Muestre que R tiene unitario. d) Muestre que R es un anillo con división. 13. Muestre que la característica de un dominio de integridad D debe ser 0 o un primo p. [HINT: si la característica de D es mn , considere (m · 1)(n · 1) en D.] 14. Pruebe que si D es un dominio de integridad, entonces D[x] es un dominio de integridad.

ABSTRACT Let R be a nonnegative Hermitian matrix. The energy of R, denoted by E(R)E(R), is the sum of absolute values of its eigenvalues. We construct an increasing sequence that converges to the Perron root of R. This sequence yields a decreasing sequence of upper bounds for E(R)E(R). We then apply this result to the Laplacian energy of trees of order n, namely to the sum of the absolute values of the eigenvalues of the Laplacian matrix, shifted by −2(n−1)/n−2(n−1)/n.